大家好，在本文中了解有关应用于行星齿轮的威利斯方程的更多信息。希望能对大家有所帮助！
在前面的Willis方程的推导一文中，行星齿轮的基本方程以下列形式导出
在该等式中，np表示转速，dp表示行星齿轮的直径（节圆）。对于太阳轮，速度用ns表示，直径用ds表示。行星架的旋转速度由nc表示。
图：行星齿轮的原理设计
威利斯方程(1)一般适用于所有行星齿轮。尽管经典行星齿轮箱的行星齿轮由齿圈包围，但这并不会改变太阳齿轮、行星齿轮和行星架之间的派生关系。出现的唯一问题是行星齿轮的运动如何传递到齿圈。
动画：行星齿轮
由于在齿圈和行星齿轮之间发生了没有滑动的纯滚动运动（被视为圆柱体），因此接触点处的速度必须相等。如果知道行星齿轮最外点移动的速度vpo，那么这对应于齿圈的速度vr。否则，会出现相对运动，齿轮当然不会出现这种情况。而后可以使用齿圈的节圆半径r（或节圆直径d）来确定其转速n，这些参数有存在以下关系：
图：行星齿轮的速度分布
同样的情况适用于行星齿轮和太阳齿轮之间的接触点处的转速。在最内点，行星齿轮的速度vpi必须等于太阳齿轮的速度vs。行星齿轮的中心以行星架的速度vc移动。这些速度之间存在线性关系（见上图中黑色虚线），因此对于给定的太阳轮圆周速度vs和给定的圆周速度承运人vc。
为什么会有这样的线性关系？
为什么会有这样一个相对简单的速度线性关系将在下面显示。为简单起见，假设齿轮为节距圆柱。
行星齿轮上一点的运动可以理解为两种运动的叠加。一方面，行星齿轮首先围绕自身的重心旋转。在这种情况下，速度的典型对称和线性增加根据方程（2)是从行星齿轮的旋转轴开始获得的。最大速度vp在行星齿轮的节圆处获得。
图：带固定托架的旋转行星齿轮上的速度分布
在旋转中心，只要行星齿轮轴不移动，速度就为零。然而，旋转轴现在以行星架vc的速度移动。现在可以将两个运动叠加到总运动上。
图：行星齿轮的旋转运动和重心运动的叠加
行星齿轮与齿圈最外接触点的速度与行星架的速度方向相同。然而，在与太阳轮接触的最内点处，方向相反。由于对称的速度分布，因此行星齿轮在与齿圈最外接触点处的最终速度较高（vpo=vc+vp）与在最内点处较低的程度相同。与太阳轮接触(vpi=vc-vp)。
换句话说，行星齿轮上一点的速度从与太阳轮的接触点开始线性增加。由于假定行星架的速度vc是给定的，因此只有行星齿轮在与太阳轮接触点vs的速度必须已知，才能确定与行星齿轮相对接触点的圆周速度。齿圈vr。
图：带移动载体的旋转行星齿轮上的速度分布
如前所述，对于没有相对运动的单纯滚动过程，行星齿轮与齿圈接触点的速度
（vpo=vc+vp）必须等于齿圈的圆周速度vr：
这同样适用于行星齿轮和太阳轮之间的接触点。在那里，行星齿轮的速度
(vpi=vc-vp)必须等于太阳轮的圆周速度vs：
如果我们减去方程（7)从方程(5)，我们得到太阳齿轮vs、行星齿轮vp和齿圈vr的圆周速度之间的以下关系：
如果方程的关系（3)用于方程(10)，则得到对应转速之间的关系：
方程产生的关系（13)现在可以直接等同于基本方程(1)最终得到太阳轮(S)、行星架(T)和齿圈(H)的转速之间的以下关系：
另外，可以使用环形齿轮、行星齿轮和太阳齿轮的直径彼此不独立。齿圈直径dr对应于太阳轮直径ds和行星齿轮直径dp的两倍之和：
图：节圆直径与齿数的关系
这有了经典单级行星齿轮的行星齿轮方程（与行星齿轮的特性无关！）：
由于齿轮的节圆直径d与齿数z成正比，因此上式也可以用齿圈的齿数(zr)和太阳轮的齿数(zs):
这个方程可以用来解释行星齿轮的不同传动比。这个在之前的文章行星齿轮传动比中更详细地讨论了。
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