学微积分很难吗？
中国科学院院士——“微积分爷爷”林群在一次公开演讲时说过：
……我们在学习时很忌讳不讲发明，只讲证明；不讲道理，只讲定理。所以我希望数学文化发生改变，变成讲道理的学问，变成讲发明的科学。
“微积分爷爷”的以上这段谈话，说得很直白，疏理起来就两个重点：一是道理（原理）比公式、定理更重要，否则你就不知道它们是怎么来的；二是（学习）态度要改变，只会（使用）证明是不够的，要把有所发挥乃至发明创造当作目的。
就微积分的发展史而言，莱布尼兹是发明者之一（另一位是牛顿），所以“微积分爷爷”的上述这段谈话，言下之意是要我们向莱布尼兹这样的人物学习，其中包含了对大家的殷切期望。
但严格来说，微积分里的一些规律，本自存在，说莱布尼兹发明了微积分似乎有些不妥，应该说莱布尼兹发现了微积分可能更为贴切些；但他将很多数学符号引入到微积分里，例如相似符号“∽”、全等符号“≌”、交符号“∩”、并符号“∪”等等，莱布尼兹赋予了这些符号予特别的含义，就使许多推理被归约为数学运算；而莱布尼兹引入的这些微积分符号，后来却成为了微积分学得以发展的关键因素之一，从此微积分有了新意义，所以说莱布尼兹发现微积分的过程中有发明创造的成分，故说发明也并不为过。
再说莱布尼兹这个人，由于他与牛顿先后独立发现了微积分，在数学发展史上占有非常重要的地位，他和微积分的故事早已人尽皆知，故本文就不再赘述了。
其实我本人还是非常赞同“微积分爷爷”的讲话的，因为除了考试要背公式、定理之外，平时根本就不用背，书里现成的有的是，只要将数据套入公式即可进行计算；但光会使用公式是没有太多意义的，如果你懂得了公式背后的原理，甚至不用背也能熟记在心。
就像有些人学开车，因为变速箱里面的结构看不见，你就算怎么讲他也不明白档位是怎么回事，只知道能控制车的速度快慢，但如果你让他看一下变速自行车，让他懂得用力一定时，同一个前齿轮变连接不同的后齿轮会得到不同的速度，他就瞬间明白了一样。所以懂得了变速原理就知道了汽车档位的作用，车开起来的时候就知道什么时候应该换什么档了。
又因为自行车变速齿轮的大小是固定的，前后齿轮的对应关系就像一条条固定的定式一样，汽车里的变速箱也是这个道理，数学上的公式也是这个道理，所以懂得了原理就能熟练运用，所以可以说懂得原理比记住公式重要得多。
现在让我们回过头来讲莱布尼兹的微积分原理，同样道理，这比你记住他的公式要重要得多。
综观莱布尼兹的微积分思想，基本可以用一句话来概括，即：求差与求和，并且互逆；具体用微积分的语言来说就是：求切线即是求差，求积即是求和，并且互逆。
本着原理比公式、定理更重要的原则，如下我将用最浅白的语言和大家一起来了解一下莱布尼兹的微积分思想（原理），因为我确信我的读者里不会有专家，还有就是因为“微积分爷爷”还曾经说过：“如果读者经过认真阅读之后，还是弄不清楚微积分是什么，那么不要以为自己水平低；相反，要理直气壮地认为著者的水平还有待提高。”所以本文的目的就是为了让所有读者都能够明白微积分是什么。
设一条线段分成十段，那么相邻项的差的总和就等于（=）最前项与最末项的差；这很好理解，假设每段间隔为1，则就像数十个手指头一样，加想来等于10，最后项减最前项也等于10。推之，无论线段怎样大小分段，结果都一样。再推之，任意数用符号n取代10，结果也一样。再推之，就像织布时经纬交织而成布一样，线段可以引申为平面。（如果再推之，就像一张张纸叠成一本书一样，面积可以引申为体积。）这就是莱布尼兹的微积分思想发端，你看这是多么平凡、多么让人容易明白啊！
由于我们这个世界是个变化的世界，变化无处不在，所以通常线段不是直线，（通常面积也是不规则的面积，）但每一个点处于坐标中，x和y总是相对的，必定存在相对的值，因此，只要区间足够小，曲线区间的差值与坐标上的差值就成比例。
我们先由简单再到复杂：在前述线段分段中，假如将数列定义为a0、a1、a2…an，则可构成序列a0+a1，a0+a1+a2，…+an；则在坐标中以0为起点时，任何曲线在纵坐标上构成序列y0+y1，y0+y1+y2…+yn。用dy来表示纵坐标上的变量差，用∫来表示和，则∫dy=y。
由于在坐标上x和y有个相对的值，则ydx为曲线下的面积，变量差和d∫ydx=总差ydx，而∫是互逆的。这相当于把dy当成了高，把dx当成了宽的长方形面积计算，但事实上曲线是有斜度的，所以在dy无穷小的时候，近似于一个矩形，所有小矩形面积之和即是曲线下的面积。
为了更准确计算曲线下的面积，于是莱布尼兹引入了导数，以dy/dx求d到x的导数，以反映导数在区间的积差即是面积差，实际上是将求积问题转化成了求切线的问题。
这就是莱布尼兹的微积分基本原理，其实并不难理解。当了解了莱布尼兹的思想原理和若干数学符号后，其余的不过是在此基础上的引申发挥，而无限是微积分的重要概念之一，理论上莱布尼兹的思想原理也可以无限引申，所谓学无止境的本身就是一种无限的表达。
最后，既然本文由“微积分爷爷”在一次公开演讲时的谈话开始，那么还由他的谈话结束吧。“微积分爷爷”在那次公开演讲时，还略带批评的语气说过：
……我们现在教科书有很大的问题。容许我批评一点，我们的教科书把简单的东西讲得很复杂。能够通过一个案例说清楚的，不讲案例，却讲怎么证明，怎么推导定理，这就是假话。
诸位，有些人可能会觉得微积分很难学，为什么？按照“微积分爷爷”的说法，可能是因为“教科书把简单的东西讲得很复杂”了。那么，应该怎样理解微积分？如果让我来说，我会说就像十个手指头，再一而分十得百、百而千、千而万，如此类推可以分成无穷个小量，但无论怎么微分，相加起来的总量都是10；再由点到线，由线到面，由面积到体积，乃至多维、任意维，理论上可以无限引申。但无论怎么变都是这个原理，是不是很简单呢？
作者：然好