李波1李锐2刘加文3李红勋11陆军军事交通学院军事交通运输研究所天津部队西安部队莱阳
摘要：针对非圆锥齿轮副传动设计过程的一个关键环节，通过实例对非圆锥齿轮副球面齿形的计算方法进行了分析，研究了一种简单、方便、计算量小的球面齿形计算方法，并通过模拟实验证明了该方法的可行性。
关键词：非圆锥齿轮副；球面齿形；计算方法
中图分类号：TH.41文献标识码：A文章编号：-（）11--04
0引言由空间到平面再由平面到空间的设计思路是进行非圆锥齿轮副的传动设计的重要研究方法，其中重要的一环就是将计算得到的平面当量齿形还原成为空间齿形[1-3]。已知是非圆锥齿轮副所要求的传动比，如图1所示，是根据该传动比按照一定的投影原理，计算出来的非圆锥齿轮副的平面当量齿形。本文将以此为例，研究一种非圆锥锥齿轮副空间球面齿形的计算方法。
图1非圆锥齿轮副的平面当量齿形
1非圆锥齿轮副球面齿形还原[4-6]将已得到的平面渐开线齿形按照保测地曲率的原理映射到球面上，从而得到非圆锥齿轮副的空间球面齿形。由于目标曲面是球面这一特殊曲面，所以在平面向空间转换的过程中有很多特殊性质可以应用，也简化了空间化的过程和计算量。
1.1平面渐开线齿形的相对曲率依据保测地曲率的曲面曲线设计的方法把平面齿形映射到球面上，即求出齿轮的实际齿廓。由于球面节曲线在前面的讨论已经求过，因此不需要重新计算。但是，当量齿形曲线是由离散点组成的，无法在球面上给出解析表达式，因此采用了数值方法求解。
取节曲线的微元ds，齿形的微元ds，由
由微分几何的结论知平面齿形曲线的相对曲率
以小齿轮的当量右齿形为例，如图2所示，齿形方程
其中，gΔS=SS，
r1k(s)是当量节曲线的相对曲率，对齿形函数关于弧长s求导，可求出
的表达式。由微元的定义知：
依据微分性质，对上述表达式进行整理得
右当量齿形的相对曲率
左当量齿形的相对曲率
大齿轮当量齿形的相对曲率的推导方法与小齿轮相同，相对曲率表达式如下右齿形
相对曲率表达式中的r1k和r2k的取值分别对应各自齿轮的球面节曲线的测地曲率g1k和g2k。
图2齿形设计原理
1.2球面齿廓的初始切向量把平面的当量齿形映射到球面上之前，首先要在球面节曲线上确定齿形曲线在节曲线上的分布位置和初始方向。分布位置在前面已经讨论过了，下面讨论初始切向量的确定方法。
设球面齿形曲线与节曲线的交点0P为起始点，齿形在该点的切线方向为。如图3所示，球面方程为
则球面在0P点处的切平面方程
图3初始切向量
齿形在0P点的切向量在0P点的切平面上，切平面以
、
为基矢，球面节曲线在0P点的切向量可表示为
在切平面上以0P为极点旋转Δα，即可得到初始向量，如图3所示，初始向量
小齿轮和大齿轮的旋转角的正向不同，小齿轮以顺时针旋转为正向，大齿轮以逆时针旋转为正向。根据上述表达式可以确定在空间齿廓线的初始切向。
1.3非圆锥齿轮副的球面齿形根据前面的讨论，非圆锥齿轮副的球面节曲线已经得到，不用做重复计算。只要将平面当量齿形按照保测地曲率的映射原理投影到球面上就可以得到空间球面齿廓，从而完成非圆锥齿轮副的传动设计。以小齿轮的某齿廓为例，具体的步骤和算法如下：
1）初始化。在球面节曲线上找到齿廓与节曲线的交点
，将其作为初始点加入描述球面齿廓曲线路径的点数组(seqP)中，取0p的测地曲率为平面当量齿廓曲线在起始点处的相对曲率，相对曲率由式(1)求得；由式(2)计算出球面齿廓在0p点处的初始方向，其中5Δα=ψ，5ψ是当量齿廓与当量节曲线在交点处齿形法线与节曲线切线之间的夹角；相应弧长s=0；取步长ds为一个较小的常量。
2）计算第二个点的位置。计算球面上的空间齿廓在0p点处的曲率向量，记
计算在球面上的投影点
，并加入(seqP)中。
3）计算第二个点的切向量和曲率向量。取点的测地曲率为平面当量齿形对应点的相对曲率。首先计算出点的切向量，进一步计算得到球面上的球面齿廓在点处的曲率法向量
4）计算第三个点的位置。计算得到第三个点，同样，将对球面作投影，将投影点加入
中。5）逐点跟踪。其他的跟踪点可以利用3）、4）的过程类似得到，直到球面齿廓的长度与平面当量齿廓的长度相同。
6）获得近似的球面齿廓。由点数组(seqP)中的各跟踪点按照先后顺序连接生成的折线，即构成了近似的球面齿廓的数值解。
按照以上步骤和方法计算小齿轮的空间球面齿廓的数值点，大齿轮的空间球面齿廓点的计算与小齿轮基本相同，只要依据前面的讨论将锥角和当量齿形的相对曲率等相关参数做必要的调整即可。编写程序，依次计算出不同齿廓的数值解，利用绘图软件绘制球面齿廓如图4所示。
图4非圆锥齿轮副的球面齿形
2模拟仿真用上述方法计算出空间球面齿形后，利用数学软件进行齿形啮合的模拟仿真，结果如图5[7]。
图5空间齿形的啮合仿真结果
模拟结果显示，计算得到的空间球面齿形能够很好地满足啮合条件，不会产生根切、顶切和干涉等现象，从而证明了这种计算方法的可行性。
3结语本文计算非圆锥齿轮副空间球面齿形的方法，简单方便，可以减少很多重复性的计算，缩小因累计运算而引起的计算误差，减少了工作量。通过模拟仿真证明，用这种方法计算出来的空间球面齿形，能够很好地满足非圆锥齿轮副的啮合运动，由此可见，这种设计方法是可行的。
参考文献[1]贾巨民.一种非圆锥齿轮副传动的啮合分析方法［J］.机械设计，（10）.[2]李福生.非圆齿轮[M].第1版.北京：机械工业出版社，.[3]吴序堂.非圆齿轮及非匀速比传动［M］.北京：机械工业出版社，.[4]蒋大为.空间解析几何及其应用［M］.北京：科学出版社，.[5]苏步清.微分几何［M］.北京：人民教育出版社，.[6]翟瑞彩.数值分析［M］.天津：天津大学出版社，.[7]飞思科技产品研发中心.MATLAB7基础与提高［M］.北京：电子工业出版社，.